Stavová spätná väzba

Z Kybernetika - TUKE
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Riaditeľnosť a pozorovateľnosť

Hovoríme, že systém je riaditeľný v čase <math>t_0</math>, ak je možné pomocou neobmedzeného riadiaceho vektora presunúť systém z počiatočného stavu <math>\mathbf{x}(t_0)</math> do akéhokoľvek iného stavu v konečnom časovom intervale.

Hovoríme, že systém je pozorovateľný v čase <math>t_0</math>, ak, keď systém je v stave <math>\mathbf{x}(t_0)</math>, je možné určiť tento stav z pozorovania výstupu počas konečného časového intervalu.

Koncepty riaditeľnosti a pozorovateľnosti zaviedol Kalman. Hrajú dôležitú úlohu v návrhu riadiacich systémov v stavovom priestore. Podmienky riaditeľnosti a pozorovateľnosti môžu dokonca určovať existenciu kompletného riešenia problému návrhu riadiaceho systému. Riešenie k tomuto problému nemusí existovať, ak daný systém nie je riaditeľný. Aj keď väčšina fyzikálnych systémov je riaditeľná a pozorovateľná, korešpondujúce matematické modely nemusia mať vlastnosť riaditeľnosti a pozorovateľnosti. Vtedy je nutné vedieť podmienky, pod ktorými je systém riaditeľný a pozorovateľný.

Podmiekou riaditeľnosti je, aby matica riaditeľnsti

<math> \begin{bmatrix} \mathbf{B} & \mathbf{AB} & ... & \mathbf{A}^{n-1}\mathbf{B} \end{bmatrix} </math>

mala <math>n</math> lineárne nezávislých stĺpcov, kde matica dynamiky systému <math>\mathbf{A}</math> má rozmer <math>n \times n</math>.

Podmiekou pozorovateľnosti je, aby matica pozorovateľnosti

<math> \begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{CA} \\ ... \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix} </math>

mala <math>n</math> lineárne nezávislých riadkov, kde matica dynamiky systému <math>\mathbf{A}</math> má rozmer <math>n \times n</math>.

Stavová spätná väzba

Zvažujme riadený systém

<math> \mathbf{\dot{x}} = \mathbf{Ax} + \mathbf{B}u </math>,

<math> y = \mathbf{Cx} + Du </math>,

kde <math>\mathbf{x}</math> je stavový vektor (<math>n \times 1</math>), <math>y</math> je výstupný signál (skalár), <math>u</math> je riadiaci signál <math>\mathbf{A}</math> je <math>n \times n</math> konštantná matica, <math>\mathbf{B}</math> je <math>n \times 1</math> konštantná matica, <math>\mathbf{C}</math> je <math>1 \times n</math> konštantná matica a <math>D</math> je skalárna konštanta.

Riadiaci signál je daný vzťahom

<math> u = - \mathbf{Kx} </math>,

teda riadiaci signál <math>u</math> je určený okamžitým stavom. Takáto schéma je zvaná stavovaá spätná väzba. <math>1 \times n</math> matica <math>\mathbf{K}</math> je zvaná maticou zosilnenia stavovej spätnej väzby.

Zmena stavu systému je potom daná ako

<math> \mathbf{\dot{x}}(t) = (\mathbf{A} - \mathbf{BK})\mathbf{x}(t) </math>

a riešenie tejto rovnice je

<math> \mathbf{x}(t) = e^{(\mathbf{A} - \mathbf{BK})t}\mathbf{x}(0) </math>.

Stabilita a prenosové charakteristiky sú určené vlastnými hodnotami matice <math>\mathbf{A} - \mathbf{BK}</math>. Ak je matica <math>\mathbf{K}</math> dobre zvolená, matica <math>\mathbf{A} - \mathbf{BK}</math> môže byť vytvorená asymptoticky stabilná.