Funkce `feval`

Funkce feval se používá v případě, kdy potřebujeme vyhodnotit (zavolat) existující funkci, ale předem nevíme, jak se volaná funkce bude jmenovat. Nejčastěji je to v případě, kdy vytváříme nějaký univerzální nástroj, např. pro hledání kořenů nějaké funkce nebo pro výpočet určitého integrálu nějaké funkce v daném intervalu.

Syntaxe:

[y1,y2,...] = feval(fhandle,x1,...,xn) nebo
[y1,y2,...] = feval(funkce,x1,...,xn)

- doporučený způsob je volání pomocí 1), kde handle je "ukazatel" na funkci
- způsob volání pomocí 2) je zachován z důvodu kompatibility se staršími verzemi MATLABu; funkce je řetězec obsahující název volané funkce
- x1,...,xn jsou všechny vstupní parametry volané funkce
- y1,y2,... jsou odebírané výstupy

Následujících 5 zápisů je ekvivalentních:

y = sin(x)
y = feval(@sin,x)
y = feval('sin',x)
nazev='sin'; y = feval(nazev,x)
fhand=@sin; y = feval(fhand,x)

Poznámka: funkce volaná pomocí feval musí být buď knihovní funkcí MATLABu, anebo uživatelskou funkcí uloženou v M-souboru (nejlépe v aktuálním adresáři).

Příklad:
máme funkci polynom1 uloženou v souboru polynom1.m, která má jeden vstup a jeden výstup:

polynom1.m

function v=polynom1(u)
% polynom1 - funkcni hodnoty polynomu 3. stupne

v = 2*u.^3 - u.^2 + 15*u -8; % funguje i pro vektory nebo matice (po prvcích)

Tuto funkci můžeme volat pro různé hodnoty nezávisle proměnné např. těmito způsoby:

y = polynom1(30.2)
y = feval(@polynom1,-13)
y = feval('polynom1',-4.5)
nazev='polynom1'; x=5.21; y = feval(nazev,x)
fhand=@polynom1; x=7/4-0.5; y = feval(fhand,x)

Další příklady použití funkce feval naleznete níže.

Numerická integrace

Potřebujeme-li vypočítat určitý integrál, ale:

funkci máme zadanou tabulkou a neznáme její předpis,
máme analyticky zadanou funkci, avšak neumíme ji symbolicky zintegrovat (například Gaussův integrál),
máme analyticky zadanou funkci, existuje symbolický integrál, avšak jeho nalezení je obtížné a zdlouhavé

pak nezbývá, než hodnotu určitého integrálu odhadnout. Metod pro numerickou integraci existuje více (jistě znáte obdélníkové pravidlo, lichoběžníkové pravidlo nebo Simpsonovu metodu).

My si uvedeme dvě možnosti realizace obdélníkového pravidla (použijeme náhradu určitého integrálu součtem obdelnikove pravidlo ):
- pro funkci zadanou tabulkou (využijeme všechny zadané body [x_i,y_i]) a
- pro funkci, jejíž analytické vyjáření známe (zde si vybereme N uzlových bodů).

integ_obd.m

function I=integ_obd(x,y)
% integ_obd - urcity integral (obdelnikove pravidlo), funkce je zadana tabulkou 
% I=integ_obd(x,y)
% x ... vektor hodnot nezavisle promenne (delka N)
% y ... vektor funkcnich hodnot (delka N)
% I ... priblizna hodnota integralu
% priklad: x=0:pi/100:pi; I=integ_obd(x,sin(x))
N=length(x);
if N~=length(y) % kdyby nebylo x a y stejne dlouhe
    error('Vstupni vektory maji ruznou delku!')
end
if N<2
    error('Pro vypocet potrebuji alespon DVA body!')
end
I = 0;  % priprava
for i=1:N-1
    I = I + (x(i+1)-x(i))*y(i);  % pridani 1 obdelniku
end

Následující funkce vrací hodnotu určitého integrálu od a do b pro libovolnou funkci jednné proměnné (tato funkce je zadána svým názvem a pro zjištění jejích funkčních hodnot se používá feval).

integ_obd_fce.m

function I=integ_obd_fce(a,b,N,nazevfce)
% integ_obd_fce - urcity integral (obdelnikove pravidlo), funkce je znama
% I=integ_obd_fce(a,b,N,nazevfce)
% a ... dolni mez
% b ... horni mez
% N ... pocet dilku
% nazevfce ... retezec: nazev existujici funkce (tj. je ulozena v M-souboru)
% I ... priblizna hodnota integralu
% priklad: I=integ_obd_fce(0,pi,100,'sin')

if a>=b
    error('Chybne zadane meze!')
end
if N<1
    error('Pocet dilku musi byt kladny!')
end
h = (b-a)/N; % krok
I = 0;  % priprava
for i=a:h:b
    y = feval(nazevfce,i); % zjisteni funkcni hodnoty v bode 'i'
    I = I + h*y;  % pridani 1 obdelniku
end

Symbolická integrace

Pokud máme k dispozici tzv. symbolický toolbox, můžeme MATLAB využít pro přesné výpočty určitých integrálů (pokud existují) nebo pro nalezení primitivní funkce (existuje-li).

Postup je jednoduchý:

zavedeme symbolické proměnné (někdy stačí jen jedna) - příkaz syms proměnná1 proměnná2 proměnná3
necháme spočítat určitý integrál od a do b - symbolická funkce int(výraz,a,b), kde výraz musí obsahovat některou existující symbolickou proměnnou. Funkce int vrací jeden výstup, který můžeme uložit do nějaké proměnné
- chceme-li najít primitivní funkci, použijeme symbolickou funkci int s jedním parametrem:
  int(výraz)
- pro vylepšení vzhledu výsledku můžeme použít funkci pretty(symb_výraz)

Příklad 1 - určité integrály polynomů:
>> syms x ... všimněte si, jak se zobrazuje symbolická proměnná v okénku Workspace
>> int(x^2+3*x-5,0,2) ... ve výrazech se symbolickou proměnnou lze použít všechny známé aritmetické operátory
ans = -4/3 ... všimněte si, že výsledkem je zase symbolická proměnná
>> int(polynom1(x),0,2) ... symbolickou proměnnou lze poslat do existující funkce
ans = 58/3

Příklad 2 - primitivní funkce:
>> syms x
>> int(x^2+3*x-5)
ans = 1/3*x^3+3/2*x^2-5*x
>> int(polynom1(x))
ans = 1/2*x^4-1/3*x^3+15/2*x^2-8*x
>> pretty(int(polynom1(x))) ... hezké zobrazení výsledku (totéž jako pretty(ans))

               4        3         2
          1/2 x  - 1/3 x  + 15/2 x  - 8 x

V případě, že určitý integrál existuje, můžeme symbolickou matematiku použít při ověřování výsledků získaných numericky.

VÝPOČET URČ. INTEGRÁLU OBĚMA ZPŮSOBY - pracuje se na tom...

Numerická derivace

Častou úlohou je odhadnout derivaci funkce f v bodě c, tj. hodnotu f'(c), na základě znalosti funkčních hodnot v konečně mnoha bodech. Tyto body si buď můžeme zvolit, anebo jsou zadány (např. tabulkou).

Většinou nic nebrání tomu, abychom aproximovali f nějakou vhodnou funkcí, tuto funkci zderivovali a výsledek považovali za aproximaci derivace původní funkce.
Provést odhad derivace je žádoucí, pokud je analytický výpočet derivace příliš pracný nebo popis funkce je tak složitý, že bychom se do jeho derivování nechtěli pouštet (třeba kvůli riziku chyby).
Numerická derivace však může být také nežádoucí - chyba derivace nesouvisí s chybou, která vznikla při aproximaci dané funkce, a může být tedy libovolně velká.

Základní metody

Při odhadu derivace funkce f můžeme vyjít z definice: f'(x) = lim_h0 (f(x+h) - f(x))/h, kde h je z prstencového okolí nuly. Zvolíme-li "malé" h, dostaneme odhad derivace v bodě x.
Tento postup nelze použít u funkcí zadaných tabulkou (kdy neznáme analytické vyjádření funkce).

Dále můžeme pro výpočet numerické derivace použít následujících aproximací funkcí: interpolačního spline, aproximace pomocí Čebyševových polynomů, aproximace metodou nejmenších čtverců (u derivací funkce dané naměřenými hodnotami), interpolační polynom.

Pokud je funkce zadaná tabulkou, přičemž vzdálenosti hodnot x₁,...,x_n jsou ekvidistantní, můžeme použít interpolaci polynomem 2. stupně a získáme vztahy pro výpočet derivace v daných bodech - derivaci (tj. směrnici tečny ke grafu funkce) ve vnitřních bodech x₂,...,x_n-1 určíme podle symetrického vzorce a okraje dopočítáme z bodů uvnitř:
numerická derivace
Poznámka: abychom docílili malou chybu metody, potřebujeme volit malý krok. V tom případe však v čitateli vzorce dostáváme malý rozdíl čísel, který poté dělíme malým jmenovatelem. Takto může pro malý krok vzniknout velká zaokrouhlovací chyba. Proto není vhodné volit krok příliš malý.

Následující funkce vrací vektor hodnot derivace funkce zadané tabulkou.

derivace.m

function dy=derivace(x,y)
% DERIVACE - numericka derivace funkce dane tabulkou
% dy=derivace(x,y)
% x ... vektor hodnot nezavisle promenne, ekvidistantni (delka N)
% y ... vektor funkcnich hodnot (delka N)
% dy ... vektor pribliznych hodnot derivace v bodech [xi,yi] (delka N)

N = length(x);
if N~=length(y)
    error('Vstupni vektory nejsou stejne dlouhe!')
end
if N<3
    error('Zadali jste malo bodu - potrebuji alespon TRI hodnoty!')
end
h = (x(2)-x(1)); % krok
%...melo by se oTESTovat, ze krok je vsude stejny!...

dy = y;  % priprava, 'dy' je stejne velke jako 'y'
% zmena hodnot 'dy' na spravne:
dy(1) = (-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*h); % pocatek
for i=2:N-1
    dy(i) = (y(i+1)-y(i-1))/(2*h); % vnitrni body
end
dy(N) = (y(N-2)-4*y(N-1)+3*y(N))/(2*h); % konec

Příklad:
Funkci vyzkoušíme pro parabolu (tam by se numerická derivace měla shodovat s analytickou), přičemž zvolíme krok 1/5 a necháme vykreslit graf původní funkce (černě), její derivace (zeleně) a numericky spočítané derivace (červené křížky):
>> x=-2:0.2:2; y=x.^2; dy=derivace(x,y); plot(x,y,'k',x,2*x,'g',x,dy,'rx')
a také vyzkoušíme pro "polynom1" (barvy grafů jsou stejné jako v předešlém případě, grafy nejsou popsány!):
>> x=-2:0.2:2; dy=derivace(x,polynom1(x)); % numericka derivace >> ady = 6*x.^2-2*x+15; % analyticka derivace >> plot(x,y,'k',x,ady,'g',x,dy,'rx')

Symbolická derivace

Pokud máme k dispozici tzv. symbolický toolbox, můžeme MATLAB využít pro výpočet derivace dané funkce (výrazu).

Postup je jednoduchý:

zavedeme symbolickou proměnnou - příkaz syms proměnná
necháme spočítat derivaci - symbolická funkce diff(výraz), kde výraz musí obsahovat symbolickou proměnnou. Výstup funkce je jeden - hledaná derivace (můžeme ji uložit do proměnné)
- chceme-li vypočítat derivace vyšších řádů, použijeme funkci diff se dvěma parametry, tj. diff(výraz,n, kde n>1 je řád derivace
- chceme-li vykreslit graf (symbolické) funkce a její derivace, použijeme symbolickou funkci
  ezplot(x,y), kde x je symbolická proměnná a y je původní funkce nebo její derivace
- pro vylepšení vzhledu výsledku můžeme použít funkci pretty(symb_výraz)
- do vypočtené derivace můžeme dosazovat pomocí funkce subs(symb_výraz,stare,nove), kde stare je výraz (proměnná), za který dosazujeme a nove je výraz (proměnná), kterým nahrazujeme

Příklad 1 - derivace polynomu a vykreslení dvou grafů do jednoho obrázku:
>> syms x >> y = x^2+3*x-5; >> dy = diff(y) >> ezplot(x,y) graf fce >> hold on % prikreslujeme >> ezplot(x,dy) graf derivace
Poznámka: graf by se měl také správně popsat (xlabel, title, legend)!

Příklad 2 - první, druhá a třetí derivace funkce sin(x²):
>> syms x >> diff(sin(x^2)) % 1. derivace ans = 2*cos(x^2)*x >> diff(sin(x^2),2) % 2. derivace ans = -4*sin(x^2)*x^2+2*cos(x^2) >> diff(sin(x^2),3) % 3. derivace ans = -8*cos(x^2)*x^3-12*sin(x^2)*x >> pretty(diff(sin(x^2),3)) % hezky vypis

                         2   3           2
                 -8 cos(x ) x  - 12 sin(x ) x

Symbolicky určenou derivaci lze použít k ověření výsledků nalezených numericky, pokud známe analytické vyjádření původní funkce.

Příklad 3 - ověření numerického výpočtu derivace funkce "polynom1" pomocí symb. matematiky:
>> x=-2:0.2:2; dy=derivace(x,polynom1(x)); % numericka derivace >> syms z; ady = subs(diff(polynom1(z)),z,x); % symb. derivace + dosazeni hodnot 'x' za 'z' >> plot(x,y,'k',x,ady,'g',x,dy,'rx')

Import dat z Excelu

Postup je následující:

Otevřít příslušný soubor v Excelu.
Zkontrolovat, zda desetinná čísla jsou psána s desetinnou TEČKOU (čárka je totiž pro MATLAB oddělovačem sloupců v maticích).
Pokud není zobrazována desetinná tečka, v menu Excelu ji nastavíme jako oddělovač (menu NástrojeMožnosti, karta Mezinárodní). Není-li v menu Excelu tato možnost, musíme změnit desetinnou čárku na tečku pro všechny aplikace (StartNastaveníOvládací panely, kde na kartě Čísla změníme oddělovač).
V MATLABu vytvoříme spojení s Excelem (funkce ddeinit)
Např. >> spojeni=ddeinit('excel','data1.xls')
POZOR: pokud je hodnota spojeni přesně nula, spojení se nepovedlo (pravděpodobně není otevřen soubor uvedeného názvu).
Importujeme data z Excelu do MATLABu (funkce ddereq)
Např. >> x=ddereq(spojeni,'r1c1:r21c1'), kde 'r1c1:r21c1' znamená, že bereme data od buňky v 1. řádku a 1. sloupci do buňky v 21. řádku a 1. sloupci (tedy od A1 do A21).

Předchozí lekce PŘEHLED Další lekce