Návrh riadiacich systémov, ktoré zabezpečujú optimalizáciu kvadratického kritéria patrí medzi moderné metódy návrhu optimálnych riadiacich systémov pre dynamické systémy s jedným vstupom a výstupom (SISO - Single Input Single Output) a pre dynamické systémy s viacerými vstupmi a výstupmi (MIMO Multi Inputs Multi Outputs). Uvažujme stavový opis diskrétneho lineárneho dynamického systému

(1)

kde
x(k) je vektor stavových premenných, rozmeru n,
u(k) je vektor vstupných (riadiacich) premenných,  rozmeru r,
y(k) je vektor výstupných premenných, rozmeru m,
A je matica dynamiky (n x n)
B je vstupná matica (n x r),
C je výstupná matica (m x n),
D je matica koeficientov priamych väzieb (m x r).

Úlohou syntézy klasického optimálneho riadenia do rovnovážneho stavu pre riaditeľný diskrétny lineárny systém definovaný modelom v stavovom priestore (1), je určiť taký návrh algoritmu riadenia

(2)

ktorý  minimalizuje pri riadení za konečný interval času kvadratický funkcionál

(3)

pričom matice váh vo funkcionáli sú zvolené tak, že Q* a Q sú pozitívne semidefinitné matice rozmeru n x n a R je pozitívne definitná matica rozmeru r x r. Matica K(k) v zákone riadenia (2) je matica spätnoväzobných zosilnení rozmeru r x n, (n je počet stavov systému, je počet vstupov systému).

Pretože pri reálnych systémoch musí byť riadiaci vstup u(k) vždy ohraničený, úlohou matice R vo funkcionáli (3) je zabezpečiť ohraničenie prvkov vektora  riadiacich veličín u(k) na fyzikálne realizovateľné hodnoty. Význam začlenenia kladne semidefinitnej matice Q je zabezpečiť pri riadení systému konvergenciu zložiek vektora stavových veličín do nuly. Kladne semidefinitná matica Q* reprezentuje váhu vektora stavových veličín x(N) v  kroku N, kedy vektor riadiacich veličín je už nulový, t.j. u(N)=0, pričom maticu Q* môžeme voliť tak,  že Q*=Q.

Pre dynamický systém daný stavovým opisom (1) môžeme vypočítať optimálnu postupnosť symetrických, kladne definitných matíc

ktorá spĺňa okrajové podmienky

a získame ju riešením diskrétnej Riccatiho rovnice

(4)

Z tejto postupnosti môžeme určiť požadovanú postupnosť matíc zosilnení spätnej väzby

z  rovnice

(5)

Podmienkou existencie riešenia pre riadenie do rovnovážneho stavu je, aby dynamický systém (1) bol riaditeľný.

Určené hodnoty matice spätnoväzobných zosilnení K(k) na definovanom intervale riadenia  použijeme na výpočet riadiaceho signálu podľa (2) pre

Takto vypočítané riadenie má názov lineárne kvadratické riadenie (Linear Quadratic Control – LQ Control).