Optimálne riadenie podľa kvadratického kritéria so sumátorom
Algoritmy otimálneho riadenia podľa kvadratického kritéria (LQ riadenie) s využitím sumátora rieši v riadiacej štruktúre problém kompenzácie trvalých porúch pôsobiacich na dynamický systém a tiež problém sledovania zmien referenčných hodnôt riadiacej veličiny bez trvalej regulačnej odchýlky.
Modifikovaný algoritmus LQ riadenia vychádza zo znalosti linearizovaného diskrétneho modelu dynamického systému s uvažovaním porúch (1)
|
|
(1) |
kde
x(k) je vektor stavových premenných (rozmer n),
u(k) je vektor vstupných (riadiacich) premenných (rozmer r)
y(k) je vektor výstupných premenných (rozmer m)
A je matica dynamiky (n x n)
B je vstupná matica (n x r)
C je výstupná matica (m x n)
D je matica koeficientov priamich väzieb (m x r)
d=Bdz(k) je vektor nemerateľných porúch
a matice spätnoväzobných zosilnení K stavového regulátora, ktorá je vypočítaná podľa (2)
|
|
(2) |
pričom optimálnu dostupnosť symetrických kladne definitných matíc
|
|
ktorá spĺňa okrajové podmienky
|
|
získame riešením diskrétnej Riccatiho rovnice
|
|
(3) |
pričom predpokladaný zákon riadenia
|
|
(4) |
do rovnovážneho stavu minimalizuje kvadratický funkcionál
|
|
(5) |
Matice váh vo funkcionáli JLQ sú volené tak, že Q a Q* sú pozitívne semidefinitné matice rozmeru n x n a R je pozitívne definitná matica r x r.
Pre návrh algoritmu riadenia so sumátorom, uvažujeme rozšírený stavový popis uzavretého obvodu
|
|
(6) |
V modifikovanej riadiacej štruktúre so sumátorom [Modrlák] akčnú veličinu vstupujúcu do dynamického systému tvoria tri zložky
|
|
(7) |
kde
ur(k)=-K1x(k),
us(k) - výstup zo sumátora
uref(k)=K2r(k),
r(k) je referenčná trajektória.
Uvažujme modifikovaný rozšírený stavový popis uzavretého regulačného obvodu s uvažovaním (7)
|
|
(8) |
Porovnaním matíc uzavretého regulačného obvodu z (6) a (8) môžeme vypočítať kladný vektor stavového regulátora K1 a zsilnenie doprednej väzby K2
|
|
(9) |
Rozklad stavového regulátora K na modifikovaný stavový regulátor K1 a zosilnenie K2 zachovávajúce pôvodné dynamické vlastnosti existuje, ak existuje inverzná matica matice
|
|
Modifikovaný algoritmus výpočtu akčného zásahu LQ stavového regulátora:
1. Štart simulácie,
2. výpočet matice zosilnenia K(k) rekurzívnym spôsobom pomocou Riccatiho rovníc (3) a rovnice (2), ktorý sa ukončí, ak je splnená podmienka |K(k)-K(k-1)|≤ε, kde ε je presnosť výpočtu,
3. ak t=tkoniec_sim potom skok na krok 11,
4. načítanie vektora stavov systému x(k), výstupov systému y(k) a riadiacej veličiny r(k),
5. výpočet matíc zosilnení K1, K2 z matice K(k) podľa vzťahu (9),
6. výpočet akčného zásahu u(k)=us(k)-K1x(k)+K2r(k),
7. výpočet výstupu sumátora us(k+1)=us(k)+K2(r(k)-y(k)),
8. výpočet matice K(k+1) podľa (2) a (3),
9. obmedzenie vypočítaného akčného zásahu u(k), voľbou prvkov na hlavnej diagonále pre maticu Q.
10. privedenie vypočítaného akčného zásahu na vstupy systému, výpočet stavového vektora systému, skok na krok 3,
11. koniec simulácie.Podrobné odvodenie modifikovaného algoritmu LQ riadenia s overením na simulačnom a reálnom modeli - helikopéra CE150(Humusoft) sa nachádza v časopiseckej publikácii:
JADLOVSKÁ, A. – LONŠČÁK, R.: Návrh a experimentálne overenie algoritmu optimálneho riadenia pre výukový model mechanického systému, In: ElectroScope, on-line časopis pre elektrotechniku a elektroniku, No.1.,Ročník 2008, FEL – ZČU Plzeň 2008, p.10, Czech Republic, Internet: http://electroscope.zcu.cz , ISSN 1802-4564 (pdf)
